1. 理论基础#

图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。

空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等；空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑、图像锐化等。空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。

频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。 傅里叶变换 是应用最广泛的一种频域变换，它能够将图像从空间域变换到频率域，而 逆傅里叶变换 能够将频率域信息变换到空间域内。

在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解为正弦分量和余弦分量两部分，数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数。显示傅里叶变换的结果需要使用实数图像加虚数图像的形式，或者幅度图像加相位图像的形式。因为幅度图像包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中， 通常仅使用幅度图像。 如果需要通过逆傅里叶变换恢复到原有的空域图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。

对图像进行傅里叶变换后，我们会得到图像中的 低频信息 和 高频信息 。低频信息对应图像内变化缓慢的灰度分量，高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量。

傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。

2. Numpy实现傅里叶变换#

2.1 傅里叶变换#

numpy.fft.fft2()#

通过函数numpy.fft.fft2()，实现傅里叶变换。
函数原型：complex_ndarray = numpy.fft.fft2( gray_img )
参数说明：
- complex_ndarray：表示复数数组。
- gray_img：表示灰度图像。

numpy.fft.fftshift()#

通过函数numpy.fft.fftshift()，实现傅里叶变换的频谱移动。
函数原型：spectrum_shift = numpy.fft.fftshift( spectrum )
参数说明：
- spectrum_shift ：表示转变后的频谱。
- spectrum：表示原始频谱。

注意
对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组。为了显示方便，需要将它们的值调整到[0, 255]的灰度空间内。可以使用20 * np.log(np.abs(频谱值))进行。

2.2 逆傅里叶变换#

numpy.fft.ifft2()#

通过函数numpy.fft.ifft2()，实现逆傅里叶变换。
函数原型：complex_ndarray_output = numpy.fft.fft2( complex_ndarray_input )
参数说明：
- complex_ndarray_output：表示复数数组。
- complex_ndarray_input：表示灰度图像。
图像获取：逆傅里叶变换得到的空域信息是一个复数数组，可以通过img = np.abs(spectrum)将该信息调整至[0, 255]灰度空间内。

numpy.fft.ifftshift()#

通过函数numpy.fft.ifftshift()，实现傅里叶变换的频谱移动，和函数numpy.fft.fftshift()的操作过程相反。
函数原型：spectrum_shift = numpy.fft.ifftshift( spectrum )
参数说明：
- spectrum_shift ：表示转变后的频谱。
- spectrum：表示原始频谱。

注意
如果在傅里叶变换过程中使用了numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换过程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函数将零频率分量移到原来的位置，再进行逆傅里叶变换。

2.3 示例#

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6

7
# FFT
8
spectrum = np.fft.fft2(img)
9
spectrum_shift = np.fft.fftshift(spectrum)
10

11
spectrum_show = 20 * np.log(np.abs(spectrum_shift))
12

13
# iFFT
14
spectrum_ishift = np.fft.ifftshift(spectrum_shift)
15
spectrum_img = np.fft.ifft2(spectrum_ishift)
16

17
fft_img = np.abs(spectrum_img)
18

19
plt.subplot(131)
20
plt.title('img')
21
plt.imshow(img, cmap='gray')
22
plt.axis('off')
23

24
plt.subplot(132)
25
plt.imshow(spectrum_show, cmap='gray')
26
plt.title('result')
27
plt.axis('off')
28

29
plt.subplot(133)
30
plt.imshow(fft_img, cmap='gray')
31
plt.title('fft_img')
32
plt.axis('off')
33

34
plt.show()

2.4 应用#

高通滤波器：边缘提取#

允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6
center_row, center_col = int(img.shape[0]/2), int(img.shape[1]/2)
7
delta = 45
8

9
# FFT
10
f = np.fft.fft2(img)
11
f_shift = np.fft.fftshift(f)
12
fft = 20 * np.log(np.abs(f_shift))
13
f_shift[(center_row-delta):(center_row+delta), (center_col-delta):(center_col+delta)] = 1
14
fft_filter = 20 * np.log(np.abs(f_shift))
15

16
# iFFT
17
f_ishift = np.fft.ifftshift(f_shift)
18
ifft_img = np.fft.ifft2(f_ishift)
19

20
ifft_img = np.abs(ifft_img)
21

22
plt.subplot(221), plt.title('img'), plt.axis('off')
23
plt.imshow(img, cmap='gray')
24

25
plt.subplot(222), plt.title('ifft_img'), plt.axis('off')
26
plt.imshow(ifft_img, cmap='gray')
27

28
plt.subplot(223), plt.title('fft'), plt.axis('off')
29
plt.imshow(fft, cmap='gray')
30

31
plt.subplot(224), plt.title('fft_filter'), plt.axis('off')
32
plt.imshow(fft_filter, cmap='gray')
33

34
plt.show()

numpy_高通滤波器

低通滤波器：图像模糊#

允许低频信号通过的滤波器称为低通滤波器。

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6
row, col = img.shape
7
center_row, center_col = int(row/2), int(col/2)
8
delta = 100
9

10
# FFT
11
f = np.fft.fft2(img)
12
f_shift = np.fft.fftshift(f)
13
fft = 20 * np.log(np.abs(f_shift))
14

15
mask = np.zeros((row, col),np.uint8)
16
mask[(center_row-delta):(center_row+delta), (center_col-delta):(center_col+delta)] = 1
17
f_shift = f_shift * mask
18
f_shift[f_shift==0] = 1
19
fft_filter = 20 * np.log(np.abs(f_shift))
20

21
# iFFT
22
f_ishift = np.fft.ifftshift(f_shift)
23
ifft_img = np.fft.ifft2(f_ishift)
24

25
ifft_img = np.abs(ifft_img)
26

27
plt.subplot(221), plt.title('img'), plt.axis('off')
28
plt.imshow(img, cmap='gray')
29

30
plt.subplot(222), plt.title('ifft_img'), plt.axis('off')
31
plt.imshow(ifft_img, cmap='gray')
32

33
plt.subplot(223), plt.title('fft'), plt.axis('off')
34
plt.imshow(fft, cmap='gray')
35

36
plt.subplot(224), plt.title('fft_filter'), plt.axis('off')
37
plt.imshow(fft_filter, cmap='gray')
38

39
plt.show()

numpy_低通滤波器

3. OpenCV实现傅里叶变换#

3.1 傅里叶变换#

cv2.dft()#

通过函数cv2.dft()，实现傅里叶变换。
函数原型：输出数组 = cv2.dft( 原始图像, 转换标识 )
参数说明：
- 输出数组：格式为复数数组。
  - 返回的值是双通道的。第1个通道是实数部分，第2个通道是虚数部分。
- 原始图像：首先使用np.float32()函数将图像转换成np.float32格式。
- 转换标识：通常为cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT，用来输出一个复数数组。

cv2.magnitude()#

通过函数cv2.magnitude()，计算频谱信息的幅度。
函数原型：返回值 = cv2.magnitude(参数 1，参数 2)
参数说明：
- 参数1：浮点型的x坐标值，也就是实部。
- 参数2：浮点型的y坐标值，也就是虚部。
- 返回值：参数1和参数2平方和的平方根，即 $ret = \sqrt{(x^2 + y^2)}$

注意
对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组。为了显示方便，需要将它们的值调整到[0, 255]的灰度空间内。可以使用20 * np.log(幅度值)进行

3.2 逆傅里叶变换#

cv2.idft()#

通过函数cv2.idft()，实现逆傅里叶变换。
函数原型：返回图像 = cv2.idft( 复数数组 )
图像获取：逆傅里叶变换得到的空域信息是一个复数数组，可以通过img = np.abs(spectrum)将该信息调整至[0, 255]灰度空间内。

注意
如果在傅里叶变换过程中使用了numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换过程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函数将零频率分量移到原来的位置，再进行逆傅里叶变换。

3.3 示例#

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6

7
# DFT
8
spectrum = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
9
spectrum_shift = np.fft.fftshift(spectrum)
10

11
spectrum_magnitude = cv2.magnitude(spectrum_shift[:,:,0], spectrum_shift[:,:,1])
12
spectrum_show = 20 * np.log(spectrum_magnitude)
13

14
# iDFT
15
spectrum_ishift = np.fft.ifftshift(spectrum_shift)
16
spectrum_img = cv2.idft(spectrum_ishift)
17

18
dft_img = cv2.magnitude(spectrum_img[:,:,0], spectrum_img[:,:,1])
19

20
plt.subplot(131)
21
plt.title('img')
22
plt.imshow(img, cmap='gray')
23
plt.axis('off')
24

25
plt.subplot(132)
26
plt.imshow(spectrum_show, cmap='gray')
27
plt.title('result')
28
plt.axis('off')
29

30
plt.subplot(133)
31
plt.imshow(dft_img, cmap='gray')
32
plt.title('dft_img')
33
plt.axis('off')
34

35
plt.show()

3.4 应用#

高通滤波器：边缘提取#

允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6
center_row, center_col = int(img.shape[0]/2), int(img.shape[1]/2)
7
delta = 45
8

9
# DFT
10
f = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
11
f_shift = np.fft.fftshift(f)
12
fft = 20 * np.log(cv2.magnitude(f_shift[:,:,0], f_shift[:,:,1]))
13

14
f_shift[(center_row-delta):(center_row+delta), (center_col-delta):(center_col+delta)] = 1
15
fft_filter = 20 * np.log(cv2.magnitude(f_shift[:,:,0], f_shift[:,:,1]))
16

17
# iDFT
18
f_ishift = np.fft.ifftshift(f_shift)
19
ifft_img = cv2.idft(f_ishift)
20

21
ifft_img = cv2.magnitude(ifft_img[:,:,0], ifft_img[:,:,1])
22

23
plt.subplot(221), plt.title('img'), plt.axis('off')
24
plt.imshow(img, cmap='gray')
25

26
plt.subplot(222), plt.title('idft_img'), plt.axis('off')
27
plt.imshow(ifft_img, cmap='gray')
28

29
plt.subplot(223), plt.title('dft'), plt.axis('off')
30
plt.imshow(fft, cmap='gray')
31

32
plt.subplot(224), plt.title('dft_filter'), plt.axis('off')
33
plt.imshow(fft_filter, cmap='gray')
34

35
plt.show()

OpenCV_高通滤波器

低通滤波器：图像模糊#

允许低频信号通过的滤波器称为低通滤波器。

1
import cv2
2
import numpy as np
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
img = cv2.imread("person.jpg", 0)
6
row, col = img.shape
7
center_row, center_col = int(row/2), int(col/2)
8
delta = 100
9

10
# DFT
11
f = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
12
f_shift = np.fft.fftshift(f)
13
fft = 20 * np.log(cv2.magnitude(f_shift[:,:,0], f_shift[:,:,1]))
14

15
mask = np.zeros((row, col, 2),np.uint8)
16
mask[(center_row-delta):(center_row+delta), (center_col-delta):(center_col+delta)] = 1
17
f_shift = f_shift * mask
18
f_shift[f_shift==0] = 1
19
fft_filter = 20 * np.log(cv2.magnitude(f_shift[:,:,0], f_shift[:,:,1]))
20

21
# iDFT
22
f_ishift = np.fft.ifftshift(f_shift)
23
ifft_img = cv2.idft(f_ishift)
24

25
ifft_img = cv2.magnitude(ifft_img[:,:,0], ifft_img[:,:,1])
26

27
plt.subplot(221), plt.title('img'), plt.axis('off')
28
plt.imshow(img, cmap='gray')
29

30
plt.subplot(222), plt.title('idft_img'), plt.axis('off')
31
plt.imshow(ifft_img, cmap='gray')
32

33
plt.subplot(223), plt.title('dft'), plt.axis('off')
34
plt.imshow(fft, cmap='gray')
35

36
plt.subplot(224), plt.title('dft_filter'), plt.axis('off')
37
plt.imshow(fft_filter, cmap='gray')
38

39
plt.show()

OpenCV_低通滤波器

有朋自远方来，不亦乐乎？

1. 理论基础#

2. Numpy实现傅里叶变换#

2.1 傅里叶变换#

numpy.fft.fft2()#

numpy.fft.fftshift()#

2.2 逆傅里叶变换#

numpy.fft.ifft2()#

numpy.fft.ifftshift()#

2.3 示例#

2.4 应用#

高通滤波器：边缘提取#

低通滤波器：图像模糊#

3. OpenCV实现傅里叶变换#

3.1 傅里叶变换#

cv2.dft()#

cv2.magnitude()#

3.2 逆傅里叶变换#

cv2.idft()#

3.3 示例#

3.4 应用#

高通滤波器：边缘提取#

低通滤波器：图像模糊#